2.4 Αναλυτική Περιγραφή

Πρόσφατα, μία νέα καινοτόμος αναλυτική μέθοδος μετασχηματισμού για την λύση γραμμικών και ολοκληρώσιμων μη-γραμμικών ΜΔΕ εισήχθη από τον Αθανάσιο Φωκά, ο οποίος συμμετέχει στην παρούσα πρόταση ως μετακαλούμενος ερευνητής. Η μέθοδος αυτή, η οποία χαρακτηρίστηκε από την London Mathematical Society ως «pioneering work» κατά την απονομή του βραβείου Naylor για το 2000 στον Καθ. Α. Φωκά, για γραμμικές ΜΔΕ μπορεί να θεωρηθεί ως το ανάλογο της προσέγγισης του Green στο φασματικό (Fourier) επίπεδο και περιλαμβάνει τα εξής βήματα:

  • Κατασκευή ενός ζεύγους γραμμικών εξισώσεων ιδιοτιμών (σε αναλογία με το ζευγάρι Lax για μη-γραμμικές ολοκληρώσιμες ΜΔΕ) συμβατών με την ΜΔΕ,
  • Εκτέλεση φασματικής ανάλυσης στο παραπάνω ζεύγος και αφενός μεν έκφραση της λύσης της ΜΔΕ με μία παράσταση ολοκληρώματος μίας φασματικής συνάρτησης, αφετέρου δε έκφραση της φασματικής συνάρτησης με μία παράσταση ολοκληρώματος γνωστών και άγνωστων ποσοτήτων της λύσης της ΜΔΕ και των παραγώγων της, στο σύνορο του πεδίου, και
  • Καθορισμός της φασματικής συνάρτησης με χρήση συνοριακών συνθηκών της λύσης της ΜΔΕ ή/και των παραγώγων της.

Επισημαίνουμε ότι ο μόνος περιορισμός που τίθεται στην όλη διαδικασία είναι αυτός της ύπαρξης λύσης της ΜΔΕ ενώ η διαδικασία είναι ανεξάρτητη της μορφής των συνοριακών δεδομένων.
Η έκφραση της φασματικής συνάρτησης στο δεύτερο στάδιο της παραπάνω διαδικασίας καλείται γενικευμένη συνθήκη και αποτελεί κλειδί της μεθόδου Φωκά. Ο καθορισμός της στο τρίτο στάδιο επιτυγχάνεται με την επίλυση μιας γενικευμένης Dirichlet-Neumann (D-N) απεικόνισης. Για μία μεγάλη κλάση συνοριακών προβλημάτων η γενικευμένη D-N απεικόνιση μπορεί να επιλυθεί σε κλειστή μορφή. Για παράδειγμα αυτό έχει επιτευχθεί για εξελικτικές γραμμικές ΜΔΕ με χωρικές παράγωγες αυθαίρετης τάξης, για τις ΜΔΕ του Laplace, της τροποποιημένης Helmholtz και την Διαρμονική σε απλά πολυγωνικά πεδία καθώς και για τις βασικές ολοκληρώσιμες μη-γραμμικές εξελικτικές ΜΔΕ για απλές συνοριακές συνθήκες. Για γενικά συνοριακά προβλήματα, για τα οποία  δεν μπορούν να παραχθούν λύσεις κλειστής μορφής, η ερευνητική μας ομάδα ανέπτυξε με επιτυχία μία αριθμητική προσεγγιστική μέθοδο για ελλειπτικής μορφής ΜΔΕ σε γενικά κυρτά πολυγωνικά πεδία η οποία βασίζεται στην εφαρμογή μιας φασματικής collocation μεθόδου στο σύνορο του πεδίου. Η μέθοδος χρησιμοποιήθηκε πρόσφατα με επιτυχία για την μελέτη συνοριακών προβλημάτων τύπου Helmholtz.
Η μελέτη της καινοτόμου αυτής μεθόδου για την λύση εξελικτικών ή μη ΜΔΕ με ασυνεχείς συντελεστές αποτελεί επιστημονική πρόκληση και κίνητρο της παρούσας ερευνητικής πρότασης.

 

Επιστροφή